\section{二次互反律}

\begin{frame}{二次互反律}
  \begin{theorem}%定理1
    [二次互反律， law of quadratic reciprocity]
    设 $p, q$ 为奇素数， 则
  \[
    \begin{aligned}
    \kronecker{q}{p}\kronecker{p}{q}&= (-1)^{\frac{p-1}{2} \cdot \frac{q-1}{2}} &&  \text { (恰当  $p, q$  之一为 $4 k+1$  型时， 取正号), } \\
  \kronecker{-1}{p}&= (-1)^{\frac{p-1}{2}} &&  \text { (恰当  $p$  为 $4 k+1$ 型时， 取正号), } \\
\kronecker{2}{p}&= (-1)^{\frac{p^{2}-1}{8}} && \text { (恰当  $p=8 k \pm 1$  时， 取正号). }
\end{aligned}
\]
\end{theorem}

证明将在下节给出。 

\pause
关于符号：
\begin{enumerate}
  \item $(-1)^{\frac{p-1}{2}}=1$当且仅当$p\equiv 1\left( \mod 4 \right)$.
    显然$\frac{p-1}{2}$为偶数当且仅当$p= 4 k + 1$.
    \pause
  \item  $(-1)^{\frac{p^{2}-1}{8}}=1$ 当且仅当$p\equiv \pm1\left( \mod 8 \right)$.
    令 $p=r+8 k$, 其中 $r= \pm 1$, $\pm 3$.
    那么 $p^{2}=r^{2}+16 k r+64 k^{2}$, 故 $p^{2}-1 \equiv r^{2}-1 \equiv 1,9\left(\mod  16\right)$. 
    由此可知， 恰当 $p= 8 k \pm 1$ 时，
  $(-1)^{\frac{p^{2}-1}{8}}=1.$
  \end{enumerate}
\end{frame}

\begin{frame}


先看看二次互反律的应用。 首先利于计算， 例如，
\[\small
  \begin{aligned}
    \kronecker{73}{101}&= \kronecker{101}{73}=\kronecker{28}{73}=\kronecker{2^{2}}{73}\kronecker{7}{73}=\kronecker{7}{73}
    = \kronecker{73}{7}=\kronecker{3}{7}=-\kronecker{7}{3}=-\kronecker{1}{3}=-1, \\
    \pause
    \kronecker{79}{101}&= \kronecker{101}{79}=\kronecker{22}{79}=\kronecker{2}{79}\kronecker{11}{79}=\kronecker{11}{79}=-\kronecker{79}{11}=-\kronecker{2}{11}=1.
\end{aligned}
\]

\pause
二次互反律的威力在于， 可定出 $a$ 为模 $p$ 二次剩余的所有 $p$. 
先看 $a=q$ 为奇素数情形。

\pause

\begin{example}%例1
  求使 $\kronecker{3 }{ p}=1$ 的所有奇素数 $p$. 
%\pause
%  注意到模 $4 q=12$ 与$q=3$互素的奇数为$\pm 1, \pm 5$.
%  故模 $4 q=12$ 的 $p \equiv \pm b^{2}$ 只可能为 $\pm 1$. 
%  由定理 2(2),  $3$是模 $p$ 二次剩余当且仅当$p\equiv \pm1\left( \mod 12 \right)$
%  \pause
%  (例如 $p=11$, $13$, $23$, $37$, $239$, $241$, \ldots).
  由二次互反律知$\kronecker{3}{p}=\kronecker{p}{3}(-1)^{\frac{p-1}{2}}$. 故$\kronecker{3}{p}=1$相当于：\\
  (i) $p\equiv 1\left( \mod 4 \right)$时$\kronecker{p}{3}=1$, 
  即$p\equiv 1\left( \mod 3 \right)$, 从而$p\equiv 1\left( \mod 12 \right)$; \\
  (ii) $p\equiv -1 \left( \mod 4 \right)$时$\kronecker{p}{3}=-1$, 
  即$p\equiv -1\left( \mod 3 \right)$, 从而$p\equiv -1\left( \mod 12 \right)$.\\
  这样，$\kronecker{3}{p}=1$相当于$p\equiv \pm 1\left( \mod 12 \right)$, 例如 $p=11$, $13$, $23$, $37$, $239$, $241$, \ldots. 
  \pause
   于是，
   \[\kronecker{3 }{ p}=\begin{cases}
    1 & \text{若~} p \equiv \pm 1 \left(\mod  12\right); \\
    -1 & \text{若~} p \equiv \pm 5 \left(\mod  12\right).
  \end{cases}
\]
\end{example}

\pause
\begin{example}%例2
求使 $\kronecker{5 }{ p}=1$ 的所有 $p$. 
\pause
由二次互反律知$\kronecker{5}{p}=1$当且仅当$\kronecker{p}{5}=1$.
%由定理 2(1), 模 $5$ 的二次剩余为 $\pm 1$,
即， $5$ 是模 $p$ 二次剩余当且仅当 $p \equiv \pm 1\left(\mod  5\right)$,
\pause
例如 $p=11$, $19$, $29$, $31$, $41$, $59$, $61$, $239$, $241$, \ldots.
\end{example}


一般地，
\end{frame}

\begin{frame}


\begin{theorem}%定理2
  设 $p, q$ 为奇素数。

 (1) 若 $q \equiv 1\left(\mod  4\right)$, 则 $q$ 是模 $p$ 二次剩余当且仅当
 \(
   p \equiv r_{q} \left(\mod  q\right),
 \)
 其中 $r_{q}$ 是模 $q$ 任意一个二次剩余。

  (2) 若 $q \equiv 3\left(\mod  4\right)$, 则 $q$ 是模 $p$ 二次剩余当且仅当
\(
  p \equiv \pm b^{2} \left(\mod  4 q\right),
\)
其中 $b$ 是与 $q$ 互素的任一奇数。
\end{theorem}

\pause
\begin{proof}
 (1) $q \equiv 1\left(\mod  4\right)$时 $\kronecker{q }{ p}=\kronecker{p }{ q}, q$ 是模 $p$ 二次剩余当且仅当 $p$ 是模 $q$ 二次剩余。

 \pause
  (2) 因 $q \equiv 3\left(\mod  4\right)$, 故
\(
  \kronecker{q }{ p}=\kronecker{p }{ q}(-1)^{\frac{p-1}{2}}.
\)
\pause
先设 $p \equiv \pm b^{2}\left(\mod  4 q\right), b$ 为奇数。 按取正、负号两种情形， 分别有
  $p \equiv \pm b^{2} \equiv \pm 1 \left(\mod  4\right),$ 即
  $\frac{p-1}{2} \equiv 0,1 \left(\mod  2\right),$  故 $(-1)^{\frac{p-1}{2}}= \pm 1;$
又有 $p \equiv \pm b^{2}\left(\mod  q\right)$, 即 $\kronecker{p }{ q}=\kronecker{ \pm b^{2} }{ q}=\kronecker{ \pm1 }{ q}= \pm 1$. 故得 $\kronecker{q }{ p}=1$.

\pause
反之， 设 $\kronecker{q }{ p}=1$. 分 $p\equiv  1, 3\left( \mod 4 \right)$讨论。

\pause
(i) 若 $p \equiv 1\left(\mod  4\right)$, 则
\(
  \kronecker{p }{ q}=\kronecker{q }{ p}=1.
  \)
  因此$p \equiv b^{2} \left(\mod  q\right)$, 对某个与$q$互素的整数$b$.
  可设 $b$ 奇 (否则以 $b+q$ 代替 $b$). 于是 $p \equiv 1 \equiv b^{2}\left(\mod  4\right)$. 
  进而 $p \equiv b^{2}\left(\mod  4 q\right)$.

  \pause
  (ii) 若 $p \equiv 3\left(\mod  4\right)$, 则
  \(
  \kronecker{p }{ q}=-\kronecker{q }{ p}=-1.
  \)
因 $q \equiv 3\left(\mod  4\right)$, 故对任意与$q$互素的整数$b$, $\kronecker{-b^{2} }{ q}=\kronecker{-1 }{ q}=-1$.
由于模$q$二次剩余和非剩余都是$\frac{q-1}{2}$个， 当 $b^{2}$ 遍历模 $q$ 二次剩余时（其中$b$与$q$互素）， $-b^{2}$ 遍历二次非剩余。
这样$p \equiv-b^{2} \left(\mod  q\right)$, 对某个与$q$互素的整数$b$.
可设 $b$ 为奇数。 于是 $p \equiv-1 \equiv-b^{2}\left(\mod  4\right)$.
进而 $p \equiv-b^{2}$ $\left(\mod  4 q\right)$.
\end{proof}
\end{frame}

\begin{frame}

  %上两例都说明了， 对固定的 $a$, 使 $\kronecker{a }{ p}=1$ 的 $p$ 出现在算术序列中。 例如 $\kronecker{5 }{ p}=1$ 的 $p$ 出现在序列 $\{10 k+1\}$ 和 $\{10 k+9\}$ 中。
  \begin{example}
  再看例1: 求使 $\kronecker{3 }{ p}=1$ 的所有奇素数 $p$. 
注意到模 $4 q=12$ 与$q=3$互素的奇数为$\pm 1$, $\pm 5$.
故模 $4 q=12$ 的 $\pm b^{2}$ 只可能为 $\pm 1$. 
由定理 2(2),  $3$是模 $p$ 二次剩余当且仅当$p\equiv \pm1\left( \mod 12 \right)$.
  \end{example}

  \pause
\begin{example}%例1
  求使 $\kronecker{11 }{ p}=1$ 的所有奇素数 $p$. 
\pause
注意到模 $4 q=44$ 与$q=11$互素的奇数为$b=\pm 1$, $\pm 3$, $\pm 5$, $\pm7$, $\pm9$, $\pm13$, $\pm15$, $\pm17$, $\pm19$, $\pm21$.
故模 $4 q=44$ 的 $\pm b^{2}$ 为 $\pm 1, \pm5, \pm 7, \pm 9, \pm 19$. 
由定理 2(2),  $11$是模 $p$ 二次剩余当且仅当$p\equiv \pm1$, $\pm5$, $\pm 7$, $\pm 9$, $\pm 19\left( \mod 44 \right)$,
\pause
例如 $p=5$, $7$, $19$, $37$, $43$, $53$, \ldots.
%于是
%\[
%\kronecker{11}{p} = 
%  \begin{cases}
%    1 & \text{若~} p\equiv \pm1, \pm5, \pm 7, \pm 9, \pm 19\left( \mod 44 \right);\\
%    -1 & \text{若~} p\equiv \pm3, \pm 13, \pm 15, \pm 17, \pm 21 \left( \mod 44 \right).
%  \end{cases}
%\]
\end{example}

\pause
  \begin{example}%例3
    $a=-3$, 求使 $(\frac{-3}{p})=1$ 的所有 $p$. 
\pause
    注意， $(\frac{-3}{p})=(\frac{-1}{p})(\frac{3}{p})=1$ 条件为 (i) $(\frac{-1}{p})=(\frac{3}{p})=1$, 或 (ii) $(\frac{-1}{p})=(\frac{3}{p})=-1$.
    \pause
(i) 相当于
\(
  p \equiv 1 \left(\mod  4\right), p \equiv \pm 1 \left(\mod  12\right);
\)
即
\(
  p \equiv 1 \left(\mod  12\right).
\)
\pause
 (ii) 相当于
 \(
   p \equiv-1 \left(\mod  4\right), p \equiv \pm 5 \left(\mod  12\right); 
 \)
   即 
   \(
     p \equiv 7 \left(\mod  12\right).
   \)
 \pause
 总之，$-3$ 为模 $p$ 二次剩余当且仅当 $p \equiv 1$ 或 $7\left(\mod  12\right)$,
 即$p\equiv 1\left( \mod 6 \right)$,
 \pause
 例如 $p=13$, $19$, $31$, $37$, $43$, $61$, $67$, \ldots.
\pause
于是
\[
  \kronecker{-3}{p} = 
  \begin{cases}
    1 & \text{若~} p\equiv 1\left( \mod 6 \right);\\
    -1 & \text{若~} p\equiv -1\left( \mod 6 \right).
  \end{cases}
\]
 \end{example}

\end{frame}

\begin{frame}
 \begin{example}%例4
 若奇素数 $p=x^{2}+y^{2}$, 则 $p=1\left(\mod  4\right)$ (这里 $x, y$ 为整数).
 \end{example}

 \begin{proof}
   因 $p$ 为素数， 故与 $x, y$ 均互素 (注意到$0<|x|, |y|<p$).
   由 $x^{2} \equiv-y^{2}\left(\mod  p\right)$, 知
\[
  1=\kronecker{x^{2}}{p}=\kronecker{-y^{2}}{p}=\kronecker{-1}{p},
\]
从而$p\equiv 1\left( \mod 4 \right)$.
\end{proof}
\pause
\begin{example}
若奇素数$p\equiv \pm 5\left(\mod  12\right)$, 则$p$ 不能表为 $p=x^{2}-3 y^{2}$.
例如不可能有 $17=x^{2}-3 y^{2}$.\\
一般地，若奇素数 $p=x^{2}-d y^{2}$, 则 $\kronecker{d }{ p}=1$ (这里 $d, x, y$ 为整数，且$p\nmid d$).
\end{example}

\begin{proof}
  反证。设$p=x^2-3y^2$. $p\equiv \pm 5\left(\mod  12\right)$表明$p\neq 3$. 
  进而易知$p\nmid x, p\nmid y$.
诚然，若$p\mid x$, 则$p\mid 3y^2=x^2-p$, 从而$p\mid y$,
   这样$p^2\mid x^2-3y^2=p$, 矛盾了；因此$p\nmid x$. 类似地，$p\nmid y$.
  既然$x^2\equiv 3y^2\left( \mod p \right)$, 有
\(
  1=\kronecker{x^2}{p}=\kronecker{3y^2}{p}=\kronecker{3}{p}.
\)
这样，由例1知$p\equiv \pm 1\left( \mod 12 \right)$,
这与假设$p\equiv \pm 5\left(\mod  12\right)$相矛盾。
\end{proof}



\end{frame}


\begin{frame}{Jacobi符号}

如果 $a$ 是模任意素数(与 $a$ 互素)的二次剩余， $a$ 当如何? 为此先引入如下符号。

\begin{definition}%定义1
设 $b=p_{1} p_{2} \cdots p_{t}$ 为正的奇数， $p_{i}$ ($i=1, \cdots, t$) 为奇素数 (不必互异),
对任意整数 $a$, Jacobi(雅可比) 符号定义为
\[
  \kronecker{a}{b}=\kronecker{a}{p_{1} p_{2} \cdots p_{t}}=\kronecker{a}{p_{1}}\kronecker{a}{p_{2}} \cdots\kronecker{a}{p_{t}}.
\]
\end{definition}

\pause
注意， $\kronecker{a}{b}=1$ 并不意味着 $a$ 为模 $b$ 的二次剩余， 例如
\[
  \kronecker{2 }{ 15}=\kronecker{2 }{ 3}\kronecker{2 }{ 5}=1.
\]
但 $2$ 并非模 $15$ 的二次剩余。 
\pause
但若 $a$ 为模 $b$ 的二次剩余， 则必定
\[
  \kronecker{a}{b}=\kronecker{x^{2}}{b}=\kronecker{x}{b}^{2}=1.
\]
\pause
Jacobi 符号保有了 Legendre 符号的许多性质， 有多种用途， 特别便于计算。
\end{frame}


\begin{frame}
  \begin{lemma}%引理1
  Jacobi 符号有如下性质：

(1) $\displaystyle\kronecker{a_{1} a_{2}}{b}=\kronecker{a_{1}}{b}\kronecker{a_{2}}{b}$.

(2) $\displaystyle\kronecker{a}{b_{1} b_{2}}=\kronecker{a}{b_{1}}\kronecker{a}{b_{2}}$.

(3) 若 $a_{1} \equiv a_{2}\left(\mod  b\right)$, 则 $\displaystyle\kronecker{a_{1}}{b}=\kronecker{a_{2}}{b}$.
\end{lemma}

 \pause
 \begin{proof}
  由 Jacobi 符号定义和 Legendre 符号性质即得。
\end{proof}

\pause
\begin{theorem}%定理3
  \label{Jaboci符号的互反律}
设 $a, b$ 为正奇数， 则（对 Jacobi 符号的互反律也成立）:
\[
  \begin{aligned}
    \kronecker{a}{b} \kronecker{b}{a} &= (-1)^{\frac{a-1}{2} \cdot \frac{b-1}{2}}, \\
  \kronecker{-1}{b}&= (-1)^{\frac{b-1}{2}}, \\
\kronecker{2}{b}&= -(-1)^{\frac{b^{2}-1}{8}}.
\end{aligned}
\]
\end{theorem}
 \end{frame}

 \begin{frame}
   这里，
   定义$\kronecker{a}{1}=1$, 对任意的整数$a$.
   \pause
   上述定理换种方式陈述就是： 若$a, b$为正奇数，
  \begin{enumerate}
    \item  $\kronecker{a}{b}=\kronecker{b}{a}$当且仅当$a$或$b$形如$4k+1$;
    \item  $\kronecker{-1}{b}=1$当且仅当$b$形如$4k+1$;
    \item  $\kronecker{2}{b}=1$当且仅当$b$形如$8k\pm 1$.
  \end{enumerate}

  ~

  \pause
  使用二次互反律计算Legendre符号时，互换分子分母位置之前我们经常需要分解整数，
  因为分子可能不是素数。
  由于分解整数没有有效的算法，连续通过Legendre符号的二次互反律来计算Legendre符号并不便捷。
  如同Jacobi认识到的，我们可以通过Jacobi符号及其互反律来计算Legendre符号。
  
  \begin{example}
   \[
     \begin{aligned}
       \kronecker{118}{2025}&= \kronecker{2}{2025}\kronecker{59}{2025}= \kronecker{59}{2025} =\kronecker{2025}{59} \\
       &=  \kronecker{19}{59} = -\kronecker{59}{19} =- \kronecker{2}{59} =1, \\
       \pause
       \kronecker{713}{1009} &= \kronecker{1009}{73}= \kronecker{296}{713}=\kronecker{2^3}{713}\kronecker{37}{713} = \kronecker{713}{37} \\
       &= \kronecker{10}{37}=\kronecker{2}{37}\kronecker{5}{37} = -\kronecker{37}{5} = -\kronecker{2}{5}=-1.
     \end{aligned}
   \]
  \end{example}
 \end{frame}

 \begin{frame}

 \begin{proof*}[定理~\ref{Jaboci符号的互反律}~的证明] 
 定理 1 (二次互反律) 说明， 定理 3 对 $a, b$ 为奇素数情形成立。
 引理 1 说明， Jacobi 符号 $\kronecker{a}{b}$ 对奇数 $a, b$ 都是完全积性函数。
% (回忆下，$f(x)$ 是完全积性函数是指： $f(x y)=f(x) f(y)$ 对任意 $x, y$ 成立；
% $f(x)$ 是积性是指： $f(x y)=f(x)f(y)$ 对互素整数 $x, y$ 成立). 
 下述引理 2 说明， $(-1)^{\frac{b-1}{2}}$ 与 $(-1)^{\frac{b^{2}-1}{8}}$ 对奇数 $b$ 是完全积性函数。 
 故定理 3 中涉及的函数都是积性的， 故对一般奇数 $a, b$ 成立。
 \end{proof*}

 \pause
 \begin{lemma}%引理2
   设 $s_{1}, \cdots, s_{r}$ 为奇数， 则

 (1) $\displaystyle\frac{s_{1} \cdots s_{r}-1}{2} \equiv \frac{s_{1}-1}{2}+\cdots+\frac{s_{r}-1}{2}\left(\mod  2\right)$.

 (2) $\displaystyle\frac{s_{1}^{2} \cdots s_{r}^{2}-1}{8} \equiv \frac{s_{1}^{2}-1}{8}+\cdots+\frac{s_{r}^{2}-1}{8} \left(\mod  2\right)$.
 \end{lemma}

 \pause
 \begin{proof}
  (1) 注意， $\frac{s-1}{2} \equiv 0,1\left(\mod  2\right)$ 分别当 $s \equiv 1,-1\left(\mod  4\right)$. 设 $s_{1}, \cdots$, $s_{r}\left(\mod  4\right)$ 中同余于 $-1$ 的有 $t$ 个 (其余同余于 $1$). 则
\[
\text { 左边} \equiv t \equiv \text {右边 }\left(\mod  2\right).
\]

\pause
 (2) 注意， 当 $s \equiv \pm 1$ 或 $\pm 3\left(\mod  8\right)$ 时， 分别有 $s^{2} \equiv 1$ 或 $9\left(\mod  16\right)$. 设 $s_{1}, \cdots, s_{r}\left(\mod  8\right)$ 中同余于 $\pm 3$ 的有 $t$ 个 (其余同余于 $\pm 1$). 则
 \[
 \text { 左边} \equiv t \equiv \text {右边 } \left(\mod  2\right).
 \]
 \end{proof}
 \end{frame}
 \begin{frame}

 \begin{theorem}%定理4
 若 $a$ 不是完全平方数， 则存在无限多个素数 $p$ 使 $\kronecker{a }{ p}=-1$. 即：若 $a$ 是任意(或除有限个外)素数的二次剩余， 则 $a$ 为平方数。
 \end{theorem}

 \pause
  \begin{proof}
    不妨设 $a$ 没有平方因子 (因 $\kronecker{c k^{2} }{ p}=\kronecker{c}{ p}$). 于是 $a$ 可写为
 \[
   a=2^{\delta} q_{1} \cdots q_{n},
 \]
 其中$\delta=0,1$, $q_{i}$ 为互异奇素数。

 \pause
 我们只需证明：在任意指定的有限个奇素数 $j_{1}, \cdots, j_{k}$ (与 $a$ 互素)之外，存在素数 $p$ 使 $\kronecker{a }{ p}=-1$.

 \pause
 (1) 先设 $n \geqslant 1$. 设 $s$ 是模 $q_{n}$ 的任一个二次非剩余。 考虑同余式组 ( $b$ 为待定整数) :
 \[
   \begin{gathered}
   b \equiv 1 \quad\left(\mod  j_{i}\right)(i=1, \cdots, k) ; \quad b \equiv 1 \quad\left(\mod  8\right) \\
   b \equiv 1 \quad\left(\mod  q_{i}\right)(i=1, \cdots, n-1) ; \quad b \equiv s \quad\left(\mod  q_{n}\right).
 \end{gathered}
 \]
 \pause
 由孙子定理知有解 $b=p_{1} \cdots p_{m}, p_{i}$ 为奇素数。 于是由定理 3 (Jacobi 符号的互反律) 知，
 \[
   \kronecker{2 }{ b}=(-1)^{\frac{b^{2}-1}{8}}=1, \quad\kronecker{q_{i} }{ b}=\kronecker{b }{ q_{i}}(-1)^{\frac{b-1}{2} \cdot \frac{q_{i}-1}{2}}=\kronecker{b }{ q_{i}}.
 \]
 \end{proof}
 \end{frame}

 \begin{frame}

   \begin{proof}[续]
 故
 \[
   \kronecker{a }{ b}=\kronecker{2 }{ b}^{\delta}\kronecker{q_{1} }{ b} \cdots\kronecker{q_{n} }{ b}=\kronecker{b }{ q_{1}} \cdots\kronecker{b }{ q_{n-1}}=\kronecker{s }{ q_{n}}=-1.
 \]
 从而
 \[
   -1=\kronecker{a }{ b}=\kronecker{a }{ p_{1}} \cdots\kronecker{a }{ p_{m}}.
 \]
 故存在 $p_{v} \mid b$ 使 $\kronecker{a}{p_{v}}=-1$, 且 $p_{v}$ 与 $j_{i}$ 互素 (因 $b$ 与 $j_{i}$ 互素).

 \pause
  (2) 考虑 $a=2$ 情形。 任意指定素数 $j_{1}, \cdots, j_{k}$ (不包括 $3$). 令
\[
b=8 j_{1} \cdots j_{k}+3
\]
(且设 $b=p_{1} \cdots p_{m}, p_{i}$ 为素数). 则 $\kronecker{2 }{ b}=-1$. 于是
\[
  -1=\kronecker{2 }{ b}=\kronecker{2 }{ p_{1}} \cdots\kronecker{2 }{ p_{m}}.
\]
故 $\kronecker{2 }{ p_{v}}=-1$ 对某 $p_{0} \mid b$ 成立。 且 $p_{v}$ 与 $j_{i}$ 互素 (因 $b$ 与 $j_{i}$ 互素). 证毕。
\end{proof}\end{frame}


\begin{frame}{小结}
  \begin{enumerate}
    \item 说说Legendre符号的二次互反律及两条补定律。并说明何时符号取正。
    \item 对奇素数$p, q$, 分$q\equiv \pm 1\left( \mod 4 \right)$说下$q$为模$p$
      二次剩余的等价条件（叙述定理2）。并举例说说这些条件的应用。
    \item 举例说说Legendre符号的应用。
    \item Jacobi符号如何定义？
    \item 说说Jacobi符号的性质（积性、二次互反律等）。
    \item Jacobi符号的引入如何简化了Legendre符号的计算？
  \end{enumerate}
\end{frame}
